ジングク(진국):	연애야, 우리 뭐 먹을까？ (何を食べようか？)
ヨネ(연애):	뭐 먹고 싶은 거 없어？ (何が食べたい？)
ジングク(진국):	너 먹고 싶은 거. (君の食べたい物で)

뭐---[代名詞]何を、何か、何
먹다---[動詞]食べる
～(으)ㄹ까?---(相手の意思を尋ねて)～しようか?

“뭐”は、「何を」という意味の韓国語“무엇(何)＋을(を)”の縮約形です。“무엇을”が“뭘”に縮約し、“뭘”のパッチム“ㄹ”が省略されて“뭐”となっています。“먹을까?”は、「食べる」という意味の動詞“먹다”の語幹に、相手の意思を尋ねる時に使う文型“～(으)ㄹ까요?”がついた形です。
今回は語幹にパッチムがあるので“～을까요?”がついて、文末は“요”を取った友達口調になっています。よって今日の一言は、「何を食べようか？」という意味です。
ちなみに、“뭐”は「何か」という意味をもつ“무엇”の縮約系でもあります。今日のシーンでヨネが言っているセリフ“뭐 먹고 싶은 거 없어？”は、直訳すると「何か食べたい物はない？」という意味で、このセリフで“뭐”は「何か」という意味です。“뭐”には、「何を」と「何か」という２つの意味があるので、文脈にも注意しましょう。

① レストランで彼氏が彼女にこの一言　→　뭐 먹을까？(何を食べようか)
②　友達と昼食のメニューについて話している時にこの一言 →　뭐 먹을까？(何を食べようか)